​牟合方盖指的是什么 牟合方盖的体积计算方法

牟合方盖指的是什么 牟合方盖的体积计算方法

牟合方盖是什么？相信很多人对于这个都很陌生，牟合方盖是由我国古代的数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误，但是最后也没有实现，但是牟合方盖的发现有重大的历史意义，牟合方盖是如何计算球体的体积计算方法的？

牟合方盖是什么？

牟合方盖，由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

牟合方盖指的是什么？

牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”其实刘徽也是希望通过构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是牟合方盖，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误。

当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道牟合方盖的体积跟内接球体体积的比为4：3，只要有方法找出牟合方盖的体积便可，只可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决的方法是通过计算出外棋的体积，但由于外棋的形状复杂，所以没有成功，他无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”

牟合方盖的体积计算方法：

上面右图是一个正方体挖去了两个四棱锥（这两个四棱锥分别以上下底面为底面，以正方体的中心为顶点），设正方体边长为2r。以平行于底面的平面同时截“牟合方盖”和“右图的几何体”，所得截面如上图所示。左图的截面是一个正方形，设中心到截面的距离为h，可得该正方形边长为2√r2-h2，所以左图的截面面积为4（r2-h2）

右图的截面像一个正方环形，面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，边长为2r，所以大正方形面积为4r2，同样设中心到截面的距离为h，可知小正方形的边长为2h，所以小正方形的面积为4h2，即截面面积为4r2-4h2。

由上可知，两几何体在同一水平位置的截面面积相等，根据祖暅原理，它们的体积相等，右图的体积等于正方体的体积减去两个四棱锥的体积，根据锥的体积公式可知，两个锥的体积之和为正方体体积的1/3，所以该几何体的体积为正方体体积的2/3，即“牟合方盖”的体积为正方体体积的2/3，正方体体积为8r3，所以最终，“牟合方盖”的体积为16r3/3。

牟合方盖的历史意义：

“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧。刘徽是1700多年前的人，以千年前的社会知识水平，就在思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今，光耀寰宇。他们对数学或者哲学问题的执着思考与纯粹探索的精神，是现代人身上及其缺乏的，也是现行教育缺失的一个重要方面。