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​初2勾股定理 初二勾股定理常用11个公式

2024-02-24 08:41 来源:冷丁网 点击:

初2勾股定理 初二勾股定理常用11个公式

在讲勾股定理的实际应用之前,我们先搞清楚两个基本概念。什么是勾股定理?常见的勾股数有哪些?勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。常见的勾股数:① 3、4、5; ② 5、12、13;③ 8、15、17;④ 7、24、25;⑤ 9、40、41。要注意的是:(1)勾股数指的是正整数,小数、分数不能称之为勾股数,比如0.3、0.4、0.5就不是勾股数;(2)这些常见的勾股数的倍数也是勾股数,比如6、8、10; 10、24、26等。

一、勾股树(利用勾股定理求面积)

例题1:如图,分别以 Rt△ABC 的三边为边作三个正方形,它们面积分别为S1,S2,S3,其中S1=9,S2=16,则S3=_________.

【分析】S1=AC^2,S2=BC^2,S3=AB^2,在Rt△ABC中,由勾股定理可得:AC^2+BC^2=AB^2,因此得到:S3=S1+S2。这是勾股树的基础图形,在此基础上,可以得到很多变形,可以沿着这些正方形接着往两边画,可以把正方形变成等边三角形、变成半圆形等等。

解:S3=S1+S2=9+16=25

变式1:如图是一株美丽的“勾股树”,图中所有四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,试问:正方形⑦的面积等于哪几个正方形的面积和?

变式2:图中有三个正方形 a,b,c ,若 a,c 的面积分别是 5 和 10 ,则 b 的面积是 ________

变式3::如图,以直角三角形的三边为直径作三个半圆,面积分别为S1,S2,S3,若S2=4,S3=7, 则S1=_______

二、利用勾股定理求最短路径问题(蚂蚁爬行问题)

例题2:如图,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处,若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇?这时蜘蛛走过的路程是多少厘米?

【分析】蚂蚁爬行问题,我们在前面详细介绍过,详情可参照:2019中考「干货」:几何最值之蚂蚁爬行问题

三、利用勾股定理求线段长

例题3:如图,在矩形ABCD中,AD=HD,AE=HE,且AB=4,AD=3,求EH的长。

【分析】先通过SSS证明△DAE≌△DHE,可得到∠DHE=∠DAE=90°,即△EHB为直角三角形。已知AB=4,AD=3,通过勾股定理先求出BD=5,HD=AD=3,则BH=2,要求EH的长,可以设HE=AE=x,那么EB=4-x,通过勾股定理得到关于x的方程求出x的值。

解:在Rt△EHB中,EH^2+HB^2=EB^2,则x^2+2^2=(4-x)^2

解得:x=1.5,即EH=1.5

这是勾股定理中常见的三种应用,实用性强,经常在填空题或解答题中可以遇到。